Programa de Estudios, 4º Semestre, Licenciatura en Educación Secundaria /
Especialidad / Telesecundaria / La Enseñanza de las Matemáticas II
Bloque II. Sugerencias didácticas en el tratamiento de algunos contenidos curriculares.

Propósitos

La realización de las actividades de este bloque permitirá que los estudiantes normalistas:

• Analicen, adapten o propongan situaciones didácticas relativas al aprendizaje de las diferentes áreas de las matemáticas.
• Conozcan algunas dificultades en el aprendizaje de las matemáticas y las estrategias para superarlas.
• Reconozcan las relaciones conceptuales que existen entre algunos temas de matemáticas.

  Temas

1. Los conocimientos y habilidades que desarrollan los alumnos al tratar información y resolver problemas aritméticos, algebraicos, geométricos y de probabilidad.

2. Dificultades, obstáculos y sugerencias para el aprendizaje de algunos contenidos de las áreas de estudio.

2.1 Aritmética.

2.2  Geometría.

2.3  Álgebra.

2.4  Probabilidad.

2.5  Tratamiento de la información.

Bibliografía básica

Alonso, Fernando, et al. (1991), “¿Hay algunas razones para que cueste tanto aprender álgebra?”, en Ideas y actividades para enseñar álgebra, Grupo Azarquiel, Editorial Síntesis, Madrid, España.

Balbuena, Hugo (1998), “¿Qué significa multiplicar por 7/4?”, en La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Lecturas. SEP. PRONAP. México.

Batanero, C., J. D. Godino, D. R. Green, P. Holmes y A. Vallecillos. “Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales” (tomado de internet: http//www.ugr.es/~batanero/ListadoEstadistica.htm)

Sánchez Sánchez, Ernesto (2001), “Principios didácticos para la enseñanza de la probabilidad en secundaria”. Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV-IPN.

SEP (2001), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.

Ursini Legovish, Sonia (1994), “Los niños y la variable”, en Educación Matemática, Volumen 6, Número 3, Grupo Editorial Iberoamérica, México.

Actividades sugeridas

1. En equipos, resolver los siguientes problemas:

• En un restaurante, un parroquiano puede escoger entre dos sopas, cuatro guisados y tres postres. ¿De cuántas maneras diferentes puede componer su menú? Si se quiere aumentar el número de combinaciones posibles agregando un platillo, ¿qué convendría aumentar, el número de sopas, el de guisados o el de postres?
• Se va tender una línea eléctrica de 35 750 Km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125 m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, ¿cuántos postes serán necesarios en total?
• La distancia de la Tierra a la Luna es alrededor de 353 000 Km y de la Tierra al Sol es de 150 000 000 Km aproximadamente. El radio de la Tierra es de 6 379 Km y el del Sol es de aproximadamente 696 000 Km.

  a) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que de la Tierra a la Luna?

  b) ¿Cuántas veces es mayor el diámetro del Sol que el de la Tierra?, ¿cuántas veces se podría intercalar la Tierra entre la Tierra y la Luna?

  c) ¿Y entre la Tierra y el Sol?

• Un televisor cuesta $1 850.00 de contado. Si se compra a crédito, se tiene que dar un enganche de $462.50 y 40 pagos semanales de $38.00. ¿Cuál es la diferencia entre el precio de contado y de crédito?
• A partir de un pedazo de lámina rectangular que mide 20 cm por 30 cm se va a fabricar una caja, cortando cuadros en las esquinas y luego doblando como se indica en la figura. ¿Cuál será el volumen de la caja si los cuadros miden 1, 2, 3, ..., centímetros de lado?, ¿de qué tamaño deberán ser los cuadros para que la caja tenga el mayor volumen posible? (Se puede sugerir al alumno hacer una tabla) 

a)  Un terreno que mide 80 m por 150 m se quiere parcelar para cultivo, en lotes de 20 m por 30 m. Haz un dibujo para indicar cómo lo dividirías. ¿Se puede parcelar un terreno de 110 m por 120 m en lotes de 20 m por 30 m? ¿Y uno de 70 m por 120 m en lotes de 20 m por 40 m?

b) Juan quiere comprarse camisas. En una tienda las camisas cuestan $215.00, pero están en oferta al “2x1”. En otra, el precio es $155.00 y están al “2x1½”. Finalmente, en una tercera tienda su valor es de $160.00 y la oferta es al “3x2”. ¿Dónde le conviene comprar?

c) Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en una rifa. ¿Cómo deben repartírselo si para comprar el boleto que resultó ganador uno dio $12.00, el otro $8.00 y el tercero $5.00?

d) El precio de la lata de atún “Del mar” es $8.50 y contiene 175 g drenados, mientras que la lata de la marca “Súper Atún” cuesta $6.50 y el peso drenado es de 150 g. ¿Cuál conviene comprar por economía?

• Al finalizar, se expondrán las estrategias de resolución de aquellos problemas que les hayan resultado más difíciles.
• Identificar qué habilidades y conocimientos pusieron en juego para lograr resultados satisfactorios.    
• Hacer una tabla para clasificar los problemas por contenidos y grado de dificultad. Luego seleccionar tres problemas acordes a uno de los grados de secundaria y plantearlos en una jornada de Observación y práctica docente orientada bajo las siguientes preguntas:
  • ¿Los problemas planteados resultaron interesantes para los alumnos?
  • ¿Qué dificultades surgieron para llevar a cabo el planteamiento de los problemas?
  • ¿Cuántos procedimientos diferentes generaron los alumnos para resolver cada uno de los problemas?
  • ¿Qué dificultades presentaron los alumnos para resolverlos?
  • ¿Se validaron los procedimientos y respuestas de los alumnos?
  • ¿Qué aprendieron los alumnos al resolver los problemas?

Para analizar el trabajo que hacen los alumnos de telesecundaria, es conveniente que los normalistas indiquen a los jóvenes que resuelvan los problemas en una hoja suelta.

En plenaria analizar las experiencias de trabajo en el aula de telesecundaria en función de los registros de observación y práctica para elaborar conclusiones  y proponer alternativas que permitan superar las dificultades que se hayan presentado.

2. Individualmente, leer las páginas 20-35 del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria.

En sesión plenaria discutir las recomendaciones didácticas para el tratamiento de los siguientes temas:

• Cálculo mental y estimación de resultados.
• Uso de la calculadora.
• Las fracciones.
• Razonamiento proporcional.

Individualmente, responder las siguientes preguntas:

¿Qué estrategia emplearía para desarrollar cálculo mental y estimación de resultados?

¿Qué papel juega la estimación de resultados en la resolución de problemas?

¿Qué actividades propondría para desarrollar el uso eficiente de la calculadora?

¿Por qué es importante el estudio de las fracciones?

¿Qué actividades o problemas permiten la comprensión de las fracciones, así como sus operaciones?

¿Cuál es la importancia del razonamiento proporcional en el aprendizaje de las matemáticas?

En grupo, discutir sobre las respuestas dadas y establecer las conclusiones pertinentes.

3. En equipos, buscar una fórmula general para explicar las siguientes sucesiones:

a) Calcular el número de cuadrados en función del número de orden de la figura:

....................................

Tener en cuenta que los equipos pueden llegar a respuestas diferentes, como pueden ser:

n ∙ 4 + 4 ; (n + 2) ∙ 4 – 4 ; (n + 1) 4; en estos casos son correctas, pues corresponden a distintas maneras de ver la figura, pero también pueden llegar a respuestas incorrectas y hay que diferenciar entre unas y otras.

b) Calcular el número de fichas en función del número de orden de la figura:

.......................................

4. Leer el capítulo 1 “¿Hay algunas razones para que cueste tanto aprender álgebra?” en Ideas y actividades para enseñar álgebra, de Fernando Alonso y el artículo “Los niños y la variable” de Sonia Ursini Legovish.

A partir de la lectura anterior, individualmente, responder las siguientes preguntas. Luego, en plenaria, discutir las respuestas.

• ¿Cuáles son las dificultades u obstáculos que puede enfrentar un alumno para aprender álgebra?
• ¿Cuáles son los diferentes usos del signo igual?
• ¿Cuáles son las distintas caracterizaciones de la variable?
• ¿Qué diferencia hay entre una incógnita y un número general?
• ¿Qué diferencias hay entre una variable y una incógnita?
• ¿Es posible que una letra represente una variable y en otro momento de la solución al problema represente una incógnita?, ¿por qué?

Individualmente plantear 2 problemas cuya resolución implique el uso de literales como incógnita y 2 problemas cuya resolución implique el uso de literales como variables.

En equipos, resolver algunos de los problemas planteados y discutir en grupo las estrategias empleadas.

5. En equipos resolver los siguientes problemas:

– ¿Cuáles de las siguientes situaciones son aleatorias y cuáles deterministas?

a) Comprar un billete de lotería y que salga premiado.

b) Que haya un sismo en el lugar donde usted vive.

c) Acertar los pronósticos deportivos.

d) Que llueva el próximo mes.

e) Que al hablar por teléfono se corte la llamada.

f) Que al enviar un correo llegue a su destino.

g) Que al sembrar una semilla germine.

h) Que algún día tengamos que morir.

– Completar las siguientes frases sobre la previsión meteorológica del día 21 de marzo de cualquier año en el lugar donde vive.

• Es seguro que...
• Con bastante probabilidad...
• Es muy probable...
• Puede ser que...
• Es difícil que...
• Es imposible que...

6. En equipos realicen el siguiente experimento:

En una caja se colocan 3 fichas de la misma forma y tamaño, de las cuales una es roja por ambas caras; otra es azul por una cara y roja por la otra y la tercera es azul por las dos caras.

Uno de los integrantes del equipo agita la caja y extrae una ficha al azar. Enseguida muestra una de las caras manteniendo la otra oculta, pidiendo a sus compañeros que adivinen el color de la cara oculta. Cada compañero que haya acertado en la predicción efectuada, consigue un punto.

Después de haber hecho dos o tres veces el experimento, los estudiantes tendrán que elaborar una estrategia que les permita obtener el mayor número de puntos, en una serie larga de repeticiones del juego.

Los estudiantes pueden llegar a las siguientes estrategias.

a) Tomar alternativamente azul y roja.

b) Tomar siempre azul (o roja).

c) Dar respuestas al azar.

d) Dos azules/una roja (o viceversa).

e) Elegir el color de la cara mostrada.

f )  Elegir el color contrario de la cara mostrada.

– En plenaria discutir las siguientes preguntas:

• ¿Qué tipo de razonamiento ha dado (o daría) para validar que su estrategia es la mejor?
• ¿Piensa que es igualmente válido el argumento que se basa en la experimentación que el basado en consideraciones lógicas y combinatorias?
• ¿Podría probar que su estrategia es la mejor sólo con la experimentación?

7. De manera individual leer el artículo “Principios didácticos para la enseñanza de la probabilidad en secundaria” de Ernesto Sánchez Sánchez, y contestar individualmente las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es el principal problema de la enseñanza de la probabilidad?, ¿por qué?
• ¿Cuáles son y cómo se deben desarrollar los principios didácticos para la enseñanza de la probabilidad?
• ¿Por qué no se debe separar la operatividad y la comprensión, en el cálculo de probabilidades?

8. Reunir diferente información estadística publicada en revistas y periódicos de la localidad e interpretarla en plenaria. Tratar de detectar errores y formas tendenciosas en el uso de tal información.

9. Leer de manera individual el artículo “Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales” de Batanero, et al.

En plenaria discutir las ideas principales sobre las cuales gira dicho artículo.

• ¿Cuáles son los principales conceptos estadísticos elementales que han sido incluidos en varios currículos recientemente?
• Según Brousseau, ¿qué es un obstáculo?
• De acuerdo con Curcio existen tres niveles distintos de comprensión de los gráficos; ¿hasta qué nivel tendría que llegarse en la educación secundaria?, ¿por qué?
• Según el autor, ¿qué dificultades pueden presentarse en el aprendizaje de algunos conceptos básicos de la estadística?

Establecer las conclusiones a las que se llegó en la discusión.

10. Resolver en equipos el problema del rompecabezas del artículo “¿Qué significa multiplicar por 7/4?” de Hugo Balbuena.

– En plenaria discutir las soluciones y las siguientes preguntas:

• ¿Qué conocimientos matemáticos se integran para la resolución de este problema?
• ¿De qué manera(s) podría simplificarse el problema?
• ¿Cuál es el operador multiplicativo que da solución al problema?
• Si el operador multiplicativo fuese 11/5, ¿cómo podría interpretarse en el contexto del problema?

– Elaborar un mapa con los conceptos que involucra el problema.

11. Leer el artículo ¿Qué significa multiplicar por 7/4? de Hugo Balbuena, y reflexionar sobre las preguntas que se plantean.

12. En equipos, analizar cada uno de los siguientes temas, destacando antecedentes, consecuentes y las relaciones con los demás.

• Proporcionalidad.
• Porcentajes.
• Semejanza.
• Fracciones.
• Escala.
• Probabilidad.
• Razón.

Como producto de la actividad, escribir cada tema en tarjetas y pegarlas en una hoja de rotafolio para formar un mapa conceptual. Comentar en plenaria el trabajo de cada equipo.